Jeux La Française des Jeux (extrait)

Peut-on gagner le jackpot à l’EuroMillions (r) ?

Dans de nombreux jeux de loterie, les joueurs doivent choisir des numéros sur deux grilles différentes : une grande grille où ils peuvent choisir parmi une large gamme de numéros et une petite grille avec un ensemble de numéros plus restreint.

Dans le jeu populaire comme l’Euromillions Ⓡ de FDJ (La Française des Jeux), les joueurs sélectionnent 5 numéros sur une grille de 1 à 50 et 2 « étoiles » sur une grille de 1 à 12.

Les numéros de la grande grille sont les numéros principaux, tandis que ceux de la petite grille sont des numéros spéciaux qui augmentent les gains.

Le choix des numéros peut être effectué manuellement par le joueur ou automatiquement par un système de sélection aléatoire.

Un tirage au sort est ensuite effectué pour déterminer les numéros gagnants, et les gains sont distribués en fonction du nombre de correspondances entre les numéros choisis par les joueurs et les numéros tirés.

Calcul des probabilités de gagner le jackpot à l’Euromillions Ⓡ

Dans ce jeu, il y a deux grilles de nombres : 1 grande grille avec des nombres de 1 à 50 et 1 petite grille avec des nombres de 1 à 12.

Alice joue exceptionnellement pour « tenter sa chance ». Elle sélectionne 5 nombres dans la grande grille et 2 nombres dans la petite grille.

Quelle est la probabilité qu’Alice gagne le jackpot de l’Euromillions Ⓡ ?

Pour calculer la probabilité qu’Alice sélectionne exactement les mêmes nombres que ceux du tirage, il faut calculer les probabilités séparément pour chaque grille et ensuite les multiplier, car les choix dans chaque grille sont indépendants.

Dans la grande grille, la probabilité que le tirage corresponde exactement aux mêmes 5 nombres qu’Alice parmi 50 possibles s’obtient en calculant l’inverse de la combinaison de 5 nombres parmi 50 :

1 / C(5,50)

De même dans la petite grille, la probabilité est obtenue avec la formule :

1 / C(2,12)

Il reste à calculer les 2 combinaisons et à multiplier les deux résultats.

C(5,50) = 2118760

C(2,12) = 66

Et leur produit : 139 838 160.

Donc Alice à 1 chance sur 139 838 160 de gagner le jackpot.

Cela montre la rareté de l’événement.

Pour vous en convaincre, demandez à un ami de penser à un nombre entre 1 et 139 838 160. Vous avez la même chance de gagner le jackpot que de trouver du premier coup pour le nombre de votre ami.

Augmenter ses chances en éliminant les séries « improbables »

Soyons clairs : il n’existe pas de séries improbables. Il s’agit d’une croyance fausse.

En effet, la série 1 2 3 4 5 a la même chance qu’une autre série de nombres.

Car chaque combinaison de numéros a toujours la même probabilité de se produire.

Toutefois, Bob est convaincu du contraire.

Bob est un joueur invétéré. Par ailleurs, dans sa stratégie de joueurs il élimine certaines séries.

En particulier, il élimine dans la grande grille :

  • Suites de 5 nombres consécutifs
  • Séquences arithmétiques
  • Suites se terminant par le même chiffre
  • Suites tous pairs et tous impairs

Une suite de 5 nombres consécutifs est une simple suite de nombres comme : 1 2 3 4 5, 17 18 19 20 21, etc.

Une séquence arithmétique est une suites de nombres qui sont séparées par exactement le même nombre constant : 4 7 10 13 16, etc.

Une suite se terminant par le même chiffre est une séquence où le dernier chiffre (unité) de chaque nombre est le même : 4 14 24 34 44, etc.

Une suite pair est une suite où les nombres sont ceux qui sont divisibles par 2 sans reste.

Une suite impair est une suite où les nombres sont ceux qui sont divisibles par 2 avec un reste de 1.

Bob est particulièrement fier de sa stratégie car, selon lui, elle augmente considérablement ses chances.

Pourtant Bob a tort.

Quelle est la probabilité que Bob gagne le jackpot de l’Euromillions Ⓡ ?

Premièrement, calculons le nombre d’occurrences de chacune des stratégies d’évitement de Bob :

  • Suites de 5 nombres consécutifs : 46
  • Séquences arithmétiques : 300
  • Suites se terminant par le même chiffre : 9
  • Suites pairs uniquement : 53 130
  • Suites impairs uniquement : 53 130

Remarquons tout de suite qu’il peut exister des chevauchements entre ces critères. Par exemple, une suite peut être à la fois une séquence arithmétique et se terminer par le même chiffre, comme 7 17 27 37 47, etc.

Par ailleurs, le total de combinaisons évitées par Bob est de 106 615 pour la grande grille.

En tenant compte de ces conditions, les calculs donnent que Bob a 1 chance sur 132 835 494 de gagner le jackpot de l’Euromillions Ⓡ.

Finalement, cela montre que les stratégies de Bob induisent une légère diminution de la rareté de cet événement.

Toutefois, nous restons dans le même ordre de grandeur :

1 chance sur 132 835 494 contre 139 838 160.

Enfin, non seulement, la probabilité de gagner reste extrêmement faible mais, surtout, les hypothèses de Bob sont complètement absurdes et fausses.

Simulation de l’Euromillions (r)

Pour mieux comprendre les probabilités et les grands nombres, consultez et téléchargez notre Simulation de l’Euromillions avec ChatGPT.

Analyser les tirages précédents

La loi des grands nombres nous dit que, avec un grand nombre d’essais, la moyenne des résultats observés devrait se rapprocher de la valeur attendue.

Cependant, pour des tirages de loterie, chaque tirage est un événement indépendant, ce qui signifie que les résultats antérieurs n’ont pas d’influence sur les résultats futurs.

De plus, chaque combinaison de numéros a toujours la même probabilité de se produire, indépendamment de ce qui a été tiré auparavant.

Dans le contexte des tirages de loterie, il n’est donc pas possible d’utiliser la loi des grands nombres pour prédire les numéros futurs, car chaque tirage est indépendant des autres.

En effet, la loi des grands nombres s’applique bien dans des contextes où l’on peut attendre une moyenne sur une grande série de données corrélées ou où des probabilités empiriques peuvent être établies par répétition et observation, comme la moyenne des résultats de lancer de dés après de nombreux lancers.

Si l’idée est d’extraire une sorte de tendance ou de prédiction basée sur des données historiques pour des jeux de loterie, cela relève plutôt de tentatives de trouver des motifs ou des biais dans le processus de tirage, ce qui n’est pas réaliste dans un cadre de tirage équitable et bien conçu comme une loterie.

Notamment, chaque tirage reste aléatoire et imprévisible.

Il n’existe pas de stratégies pour gagner le jackpot de l’Euromillions Ⓡ

Il est certain que ce jackpot peut faire rêver en permettant de réaliser ce qui nous tient à coeur : aider ses proches, se faire plaisir, vivre une vie moins contraignante, s’élever dans l’échelle sociale, etc.

Bien sûr qu’il y a des gros gagnants de temps en temps en Europe.

De plus, en France, à chaque tirage de l’Euromillions Ⓡ, il y a un millionnaire garanti.

Cela suffit pour donner l’espoir.

Cependant, vous pouvez jouer pendant 30 ou 40 ans, tous les jours à l’Euromillions Ⓡ, EuroDreams Ⓡ ou au Loto Ⓡ sans jamais gagner le jackpot, ni même un lot significatif !

Cette activité devrait être envisagée comme un divertissement ou un passe-temps occasionnel.

Toutefois, il est important que celle-ci ne vous conduise pas à adopter un comportement irrationnel.

Enfin, apprenez à maîtriser votre jeu, grâce aux conseils de l’ANJ (Autorité Nationale des Jeux).

Les jeux d’argent et de hasard peuvent être dangereux : pertes d’argent, conflits familiaux, addiction… retrouvez les conseils de joueurs-info-service.fr

Pour aller plus loin

Jouez avec la simulation en ligne de l’Euromillions (r).

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